Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = a^{2} - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = a^{2} - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a^{2} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $a^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Etapa 1.3.2

Some $a^{2}$ e $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Etapa 1.5

Subtraia $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $0$ e em $a^{2}$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.5

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.6

Multiplique os expoentes em ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 7.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 7.2.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 7.2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Etapa 7.2.7

Subtraia $\frac{2}{3} a^{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Etapa 7.2.8

Combine $a^{3}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Etapa 7.2.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Etapa 7.2.10

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Etapa 7.2.11

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.12

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{6}$

Etapa 7.2.13

Mova $2$ para a esquerda de $a^{3}$ .

$\frac{2 \cdot a^{3}}{6}$

Etapa 7.2.14

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 7.2.14.1

Fatore $2$ de $2 a^{3}$ .

$\frac{2 (a^{3})}{6}$

Etapa 7.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.14.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{a^{3}}{3}$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} a^{3}$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{3}$ e $a^{3}$ .

$\frac{a^{3}}{3}$