Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + x}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Etapa 1.5

Some $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{u}$ como $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Etapa 2.2

Mova $u^{\frac{1}{4}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{4}}$ com relação a $u$ é $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{9}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ em $9$ e em $1$ .

$(\frac{4}{3} \cdot 9^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $9^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Etapa 4.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Forma decimal:

$5.59486989 \dots$

Etapa 6