Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 3

Como $- \frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{2}{3}$ para fora da integral.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - (- \frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + 1 (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 1 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 5.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Etapa 5.3

Subtraia $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Etapa 5.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} \int_{1}^{0} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- \int_{1}^{0} u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{0}))$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0}))$

Etapa 8.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Etapa 8.3

Para escrever $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Etapa 8.4

Combine $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot 3}{3} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Etapa 8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot 3 - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Etapa 8.6

Mova $3$ para a esquerda de $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ .

$\frac{3 (- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{3 ((- \frac{1 (2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Etapa 9.2

Avalie $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ em $0$ e em $1$ .

$\frac{3 ((- \frac{1 (2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{3})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0)}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.7

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{3 (- \frac{1 \cdot 0}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.8

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{3 (- \frac{0}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.9.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{3 (- \frac{3 (0)}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- \frac{0}{1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{3 (- 0 + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 {(1 + 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.12

Some $1$ e $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.13

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 \cdot 1)}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.14

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 \cdot 2}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.15

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.16

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.16.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.16.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.16.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{3 (0 + 0) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.17

Some $0$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.18

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0 - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.19

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.20

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.21

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.21.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.21.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.22

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.23

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{0}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.24

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.24.1

Fatore $5$ de $0$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{5 (0)}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.24.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.24.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.24.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{0 - 2 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.24.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0 - 2 (\frac{0}{1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.24.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Etapa 9.3.25

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2 \cdot 1}{5})}{3}$

Etapa 9.3.26

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2}{5})}{3}$

Etapa 9.3.27

Subtraia $\frac{2}{5}$ de $0$ .

$\frac{0 - 2 (- \frac{2}{5})}{3}$

Etapa 9.3.28

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{0 + 2 (\frac{2}{5})}{3}$

Etapa 9.3.29

Combine $2$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{0 + \frac{2 \cdot 2}{5}}{3}$

Etapa 9.3.30

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0 + \frac{4}{5}}{3}$

Etapa 9.3.31

Some $0$ e $\frac{4}{5}$ .

$\frac{\frac{4}{5}}{3}$

Etapa 9.3.32

Reescreva $\frac{\frac{4}{5}}{3}$ como um produto.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 9.3.33

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{5 \cdot 3}$

Etapa 9.3.34

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{4}{15}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{4}{15}$

Forma decimal:

$0.2\overline{6}$

Etapa 11