Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} 5 x e^{2 x} d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} e^{2 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$5 (x \frac{e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2 x} d x))$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Etapa 5.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Etapa 6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{2})$

Etapa 10

Combine $e^{u}]_{0}^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x e^{2 x}}{2}$ em $1$ e em $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Etapa 11.2

Avalie $e^{u}$ em $2$ e em $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 (\frac{1 e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.2

Multiplique $e^{2}$ por $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.6

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 11.3.6.1

Fatore $2$ de $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.6.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} + 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.8

Some $\frac{e^{2}}{2}$ e $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Etapa 11.3.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1 \cdot 1}{4})$

Etapa 11.3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Etapa 11.3.11

Para escrever $\frac{e^{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Etapa 11.3.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.3.12.1

Multiplique $\frac{e^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Etapa 11.3.12.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{4} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Etapa 11.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{e^{2} \cdot 2 - (e^{2} - 1)}{4}$

Etapa 11.3.14

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2}$ .

$5 \frac{2 \cdot e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$

Etapa 11.3.15

Combine $5$ e $\frac{2 e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - (e^{2} - 1))}{4}$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} - - 1)}{4}$

Etapa 12.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} + 1)}{4}$

Etapa 12.3

Subtraia $e^{2}$ de $2 e^{2}$ .

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Forma decimal:

$10.48632012 \dots$

Etapa 14