Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

Etapa 1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{10}$ .

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 3.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 3.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 3.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

Etapa 4

Combine $u^{10}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Etapa 6.3

Multiplique $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ por $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{10}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{1}{11} u^{11}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Eleve $2$ à potência de $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Etapa 8.2.2

Combine $\frac{1}{11}$ e $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Etapa 8.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Etapa 8.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Etapa 8.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Etapa 8.2.6

Subtraia $1$ de $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2047}{11}$

Forma decimal:

$186.\overline{09}$

Forma de número misto:

$186 \frac{1}{11}$

Etapa 10