Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 2.1.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Etapa 2.1.1.1.2

Reescreva $3$ como $1$ mais $2$

$\frac{1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Etapa 2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Etapa 2.1.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Etapa 2.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Etapa 2.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Etapa 2.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Etapa 2.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Etapa 2.1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 2.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.5

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.7.1

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 2.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.1.2

Divida $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 2.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 2.1.7.4.2

Divida $(B) (2 x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Etapa 2.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Etapa 2.1.7.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Etapa 2.1.7.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A x + A + 2 B x + B$

Etapa 2.1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.8.1

Mova $B$ .

$1 = A x + A + 2 x B + B$

Etapa 2.1.8.2

Mova $A$ .

$1 = A x + 2 x B + A + B$

Etapa 2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + 2 B$

Etapa 2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

Etapa 2.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + 2 B$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva a equação como $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$1 = A + B$

Etapa 2.3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

Etapa 2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 2 B$ em cada equação.

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Etapa 2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B$ por $- 2 B$ .

$1 = (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.2.1

Some $- 2 B$ e $B$ .

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

Etapa 2.3.3

Resolva $B$ em $1 = - B$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva a equação como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - 2 B$

Etapa 2.3.3.2

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Etapa 2.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Etapa 2.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

Etapa 2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 2.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - 2 B$ por $- 1$ .

$A = - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Etapa 2.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 2, B = - 1$

Etapa 2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{2}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 5.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Etapa 5.5.2

Some $2$ e $1$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$2 (1 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 8.3

Multiplique $\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ por $1$ .

$2 (\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 11.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 11.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 11.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 11.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 11.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 11.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 11.5

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 11.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 11.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $\ln (| u_{1} |)$ em $3$ e em $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Etapa 13.2

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $2$ e em $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 13.3

Remova os parênteses.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 14.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

Etapa 14.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Etapa 14.4

Reescreva $\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ como um produto.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Etapa 14.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

Etapa 14.6

Multiplique $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ por $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

Etapa 14.7

Multiplique $\frac{| 3 |}{| 1 |}$ por $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Etapa 14.8

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$2 \ln (\frac{| 3 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Etapa 14.9

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 | | 2 |})$

Etapa 14.10

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 \cdot 2 |})$

Etapa 14.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Etapa 15.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimal:

$0.81093021 \dots$

Etapa 17