Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{4} - 1$ . Depois, $d u = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{4} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{4} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{4} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Etapa 2.2

Mova $4$ para a esquerda de $u$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

Etapa 5

Avalie $\ln (| u |)$ em $0$ e em $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

Etapa 7.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

Etapa 7.3

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{\ln (0)}{4}$

Etapa 7.4

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

$\frac{\ln (0)}{4}$

Etapa 8

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido