Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $4$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = {\sqrt{5}}^{2} + 4$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 1.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4$

Etapa 1.5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4$

Etapa 1.5.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

Etapa 1.5.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

Etapa 1.5.1.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 5^{1} + 4$

Etapa 1.5.1.5

Avalie o expoente.

$u_{upper} = 5 + 4$

Etapa 1.5.2

Some $5$ e $4$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $9$ e em $4$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 6.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 6.2.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{1})$

Etapa 6.2.9

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2)$

Etapa 6.2.10

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 4)$

Etapa 6.2.11

Subtraia $4$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 6.2.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2}$

Etapa 6.2.13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.13.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2}$

Etapa 6.2.13.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 7