Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\sqrt{π}} x \cos (x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Etapa 1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Etapa 1.5

Reescreva ${\sqrt{π}}^{2}$ como $π$ .

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Etapa 1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{π}$ como $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π^{1}$

Etapa 1.5.5

Simplifique.

$u_{upper} = π$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π}$

Etapa 5

Avalie $\sin (u)$ em $π$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 0)$

Etapa 6.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) + 0)$

Etapa 6.3

Some $\sin (π)$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (π)$

Etapa 6.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sin (0)}{2}$

Etapa 7.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{2}$

Etapa 7.2

Divida $0$ por $2$ .

$0$