Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (y) d y$

Etapa 1

A integral de $\sec (y)$ com relação a $y$ é $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ .

$\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1

Avalie $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ em $\frac{π}{6}$ e em $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{6})$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 2.2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 2.2.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Etapa 2.2.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Etapa 2.2.5

Some $1$ e $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 2.2.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.1.1.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.3.1.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.3

Some $2 \sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.4.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Etapa 2.3.1.5

$\sqrt{3}$ é aproximadamente $1.7320508$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{| 1 |})$

Etapa 2.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{1})$

Etapa 2.3.3

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\ln (\sqrt{3})$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\sqrt{3})$

Forma decimal:

$0.54930614 \dots$