Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\sin^{5} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Fatore $\sin^{4} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2

Reescreva ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (u_{1})$ como $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Etapa 7.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 7.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 7.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Etapa 9

Expanda ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ como $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Etapa 9.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Etapa 9.5

Mova ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Etapa 9.6

Mova ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 9.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 9.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 9.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 9.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 9.11

Multiplique ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 9.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Etapa 9.13

Some $2$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Etapa 9.14

Subtraia ${u_{2}}^{2}$ de $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Etapa 9.15

Reordene $- 2 {u_{2}}^{2}$ e ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 9.16

Mova $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{4}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{5}$ e ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Etapa 13

Como $- 2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Etapa 15

Combine $\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Etapa 16

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

Etapa 17

Combine $\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ e $u_{2}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Etapa 18

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Avalie $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ em $0$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Etapa 18.2

Avalie $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ em $0$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.1

Fatore $5$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.7

Some $1$ e $5$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.8

Subtraia $\frac{6}{5}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.10.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

Etapa 18.3.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

Etapa 18.3.12

Subtraia $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

Etapa 18.3.13

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

Etapa 18.3.14

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

Etapa 18.3.15

Para escrever $- \frac{6}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

Etapa 18.3.16

Para escrever $\frac{2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Etapa 18.3.17

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.17.1

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Etapa 18.3.17.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Etapa 18.3.17.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

Etapa 18.3.17.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

Etapa 18.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

Etapa 18.3.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.19.1

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

Etapa 18.3.19.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

Etapa 18.3.19.3

Some $- 18$ e $10$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 8}{15})$

Etapa 18.3.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (- - \frac{8}{15})$

Etapa 18.3.21

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 (\frac{8}{15}))$

Etapa 18.3.22

Multiplique $\frac{8}{15}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{15}$

Etapa 18.3.23

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8}{2 \cdot 15}$

Etapa 18.3.24

Multiplique $2$ por $15$ .

$\frac{8}{30}$

Etapa 18.3.25

Cancele o fator comum de $8$ e $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.25.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (4)}{30}$

Etapa 18.3.25.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.25.2.1

Fatore $2$ de $30$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Etapa 18.3.25.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Etapa 18.3.25.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{15}$

Etapa 19

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{4}{15}$

Forma decimal:

$0.2\overline{6}$