Cálculo Exemplos

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

Etapa 1

Deixe

u = 3 t

$u = 3 t$ . Depois,

d u = 3 d t

$d u = 3 d t$ , então,

\frac{1}{3} d u = d t

$\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescreva usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe

u = 3 t

$u = 3 t$ . Encontre

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie

3 t

$3 t$ .

\frac{d}{d t} [3 t]

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 1.1.2

Como

3

$3$ é constante em relação a

t

$t$ , a derivada de

3 t

$3 t$ em relação a

t

$t$ é

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por

t

$t$ em

u = 3 t

$u = 3 t$ .

u_{lower} = 3 \cdot 0

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique

3

$3$ por

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por

t

$t$ em

u = 3 t

$u = 3 t$ .

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para

u_{lower}

$u_{lower}$ e

u_{upper}

$u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando

u

$u$ ,

d u

$d u$ e os novos limites de integração.

\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine

\sin (u)

$\sin (u)$ e

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Etapa 3

Como

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ é constante com relação a

u

$u$ , mova

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ para fora da integral.

\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de

\sin (u)

$\sin (u)$ com relação a

u

$u$ é

- \cos (u)

$- \cos (u)$ .

\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Etapa 5

Avalie

- \cos (u)

$- \cos (u)$ em

π

$π$ e em

0

$0$ .

\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

Etapa 6

O valor exato de

\cos (0)

$\cos (0)$ é

1

$1$ .

\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

Etapa 7.2

O valor exato de

\cos (0)

$\cos (0)$ é

1

$1$ .

\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Etapa 7.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

\frac{1}{3} (- - 1 + 1)

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

Etapa 7.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{3} (1 + 1)

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

Etapa 7.5

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

\frac{1}{3} \cdot 2

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Etapa 7.6

Combine

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ e

2

$2$ .

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

0.\overline{6}

$0.\overline{6}$