Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

Etapa 1

Deixe $u = 3 t$ . Depois, $d u = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 3 t$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 3 t$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Etapa 5

Avalie $- \cos (u)$ em $π$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

Etapa 6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

Etapa 7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

Etapa 7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Etapa 7.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$