Cálculo Exemplos

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x + 8$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x + 8$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{11}$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{u}{3}$ por $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Etapa 3.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Etapa 3.5

Some $1$ e $11$ .

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Etapa 3.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Etapa 3.7

Combine $- \frac{8}{3}$ e $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

Etapa 3.8

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{12}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{13} u^{13}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Etapa 8

Como $\frac{8}{9}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{8}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{11}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{13}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Etapa 10.2.2

Multiplique $9$ por $13$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Etapa 10.2.3

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

Etapa 10.2.4

Multiplique $12$ por $9$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

Etapa 10.2.5

Cancele o fator comum de $8$ e $108$ .

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Etapa 10.2.5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

Etapa 10.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.5.2.1

Fatore $4$ de $108$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Etapa 10.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Etapa 10.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 8$ .

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$