Cálculo Exemplos

$\int t \ln (t + 1) d t$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (t + 1)$ e $d v = t$ .

$\ln (t + 1) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\ln (t + 1) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Etapa 2.2

Combine $\ln (t + 1)$ e $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t^{2} \frac{1}{t + 1} d t)$

Etapa 4

Combine $t^{2}$ e $\frac{1}{t + 1}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{t^{2}}{t + 1} d t$

Etapa 5

Divida $t^{2}$ por $t + 1$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$t$

$1$

$t^{2}$

$0 t$

$0$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $t^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

					$t$
	$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			+	$t^{2}$	+	$t$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $t^{2} + t$ .

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- t$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					-	$t$	-	$1$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- t - 1$ .

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$
							+	$1$

Etapa 5.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int t - 1 + \frac{1}{t + 1} d t$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Etapa 9

Deixe $u = t + 1$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = t + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 9.1.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \ln (| u |) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (t + 1)$ .

$\frac{\ln (t + 1)}{2} t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Etapa 11.2.2

Combine $\frac{\ln (t + 1)}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Etapa 11.2.3

Para escrever $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 11.2.4

Combine $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 11.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 11.2.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 11.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 11.2.8

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 11.2.9

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 11.2.9.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 11.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 11.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 11.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 11.2.9.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| t + 1 |))}{2} + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Para escrever $\ln (| t + 1 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Etapa 13.2

Combine $\ln (| t + 1 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{\ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Etapa 13.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Etapa 13.4

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| t + 1 |)$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2})}{2} + C$

Etapa 13.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - - t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Etapa 13.6

Multiplique $- - t$ .

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Etapa 13.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + 1 t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Etapa 13.6.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{1}{2} (t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |))) + C$