Cálculo Exemplos

$16 p \int_{0}^{5} {(1 - \frac{x}{5})}^{2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{5} d x$ , então, $- 5 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - \frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{5}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{x}{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- \frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{5} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{5}$

Etapa 1.1.4

Subtraia $\frac{1}{5}$ de $0$ .

$- \frac{1}{5}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - \frac{x}{5}$ .

$u_{lower} = 1 - \frac{0}{5}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Divida $0$ por $5$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - \frac{x}{5}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Etapa 1.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{1}{5}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Etapa 2.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{5}$ .

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} (1 \cdot 5) d u$

Etapa 2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \cdot 5 d u$

Etapa 2.4

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - 5 u^{2} d u$

Etapa 3

Como $- 5$ é constante com relação a $u$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$16 p (- 5 \int_{1}^{0} u^{2} d u)$

Etapa 4

Multiplique $- 5$ por $16$ .

$- 80 p \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 80 p \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- 80 p \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{u^{3}}{3}$ em $0$ e em $1$ .

$- 80 p ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 80 p (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 7.2.2.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- 80 p (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Etapa 7.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Etapa 7.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Etapa 7.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- 80 p (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Etapa 7.2.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 80 p (0 - \frac{1^{3}}{3})$

Etapa 7.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 80 p (0 - \frac{1}{3})$

Etapa 7.2.4

Subtraia $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$- 80 p (- \frac{1}{3})$

Etapa 7.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 80$ .

$80 p \frac{1}{3}$

Etapa 7.2.6

Combine $80$ e $\frac{1}{3}$ .

$p \frac{80}{3}$

Etapa 7.2.7

Combine $p$ e $\frac{80}{3}$ .

$\frac{p \cdot 80}{3}$

Etapa 7.2.8

Mova $80$ para a esquerda de $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{80}{3} p$

Etapa 9

Combine $\frac{80}{3}$ e $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Etapa 10