Cálculo Exemplos

$\frac{10}{3 \int {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}} d t}$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + 0.2 t$ . Depois, $d u = 0.2 d t$ , então, $\frac{1}{0.2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + 0.2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 0.2 t]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 0.2 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $0.2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.2 t$ em relação a $t$ é $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 0.2 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $0.2$ por $1$ .

$0 + 0.2$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $0.2$ .

$0.2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{10}{3 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{0.2} d u}$

Etapa 2

Combine $u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{0.2}$ .

$\frac{10}{3 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{0.2} d u}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{0.2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.2}$ para fora da integral.

$\frac{10}{3 (\frac{1}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)}$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{0.2}$ e $3$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u}$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$ como $\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$ .

$\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{15 \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $15$ e $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{10}{\frac{15 (2 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$\frac{10}{\frac{30 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Etapa 6.2.4

Fatore $5$ de $30 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Etapa 6.2.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.5.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 (1)}} + C$

Etapa 6.2.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1}} + C$

Etapa 6.2.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10}{\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{1}} + C$

Etapa 6.2.5.4

Divida $6 u^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$\frac{10}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Etapa 6.2.6

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 (5)}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Etapa 6.2.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.7.1

Fatore $2$ de $6 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (5)}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Etapa 6.2.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Etapa 6.2.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{3 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 0.2 t$ .

$\frac{5}{3 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{5}{2}}} + C$