Cálculo Exemplos

$\int x \arcsin (x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \arcsin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\arcsin (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\arcsin (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \arcsin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = \arcsin (u_{1})$ e $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

Etapa 5

Combine $u_{1}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.2

Diferencie.

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Etapa 6.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - {u_{1}}^{2}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- {u_{1}}^{2}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1})$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 u_{1}$

Etapa 6.1.4

Subtraia $2 u_{1}$ de $0$ .

$- 2 u_{1}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 2} d u_{2})$

Etapa 7.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Etapa 9.2

Multiplique $\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Etapa 11

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 11.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

Etapa 11.2

Mova ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2})$

Etapa 11.3

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 11.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2})$

Etapa 11.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2})$

Etapa 11.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2})$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$

Etapa 13

Reescreva $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$ como $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {u_{1}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {(x^{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 15.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{2 \cdot 2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 15.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 15.3

Multiplique $\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2})$ .

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Etapa 15.3.1

Combine $\arcsin (x^{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{2} x^{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 15.3.2

Combine $\frac{\arcsin (x^{2})}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 15.4

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{{(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Etapa 15.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Etapa 15.6

Reordene os fatores em $\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$