Cálculo Exemplos

$\int x \arctan (7 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arctan (7 x)$ e $d v = x$ .

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Combine $\arctan (7 x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Etapa 4.2

Mova $7$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Etapa 6.2

Combine $- 7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Etapa 7

Divida $x^{2}$ por $49 x^{2} + 1$ .

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Etapa 7.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 7.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $49 x^{2}$ .

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 7.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

Etapa 7.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$ .

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

Etapa 7.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

Etapa 7.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{49}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{49}$ para fora da integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

Etapa 12

Reordene $49 x^{2}$ e $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

Etapa 13

Fatore $49$ de $1 + 49 x^{2}$ .

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Etapa 13.1

Fatore $49$ de $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

Etapa 13.2

Fatore $49$ de $49 x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

Etapa 13.3

Fatore $49$ de $49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

Etapa 14

Como $\frac{1}{49}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{49}$ para fora da integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Multiplique $\frac{1}{49}$ por $\frac{1}{49}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Etapa 15.2

Multiplique $49$ por $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Etapa 16

Reescreva $\frac{1}{49}$ como ${(\frac{1}{7})}^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

Etapa 17

A integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Simplifique.

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Etapa 18.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Etapa 18.1.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Etapa 18.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

Etapa 18.1.4

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

Etapa 18.2

Simplifique.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

Etapa 18.3

Simplifique.

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Etapa 18.3.1

Para escrever $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 18.3.2

Combine $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 18.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 18.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.3.5

Combine $- 2$ e $\frac{7}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.3.6

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.3.7

Cancele o fator comum de $- 14$ e $2$ .

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Etapa 18.3.7.1

Fatore $2$ de $- 14$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 18.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.3.7.2.4

Divida $- 7$ por $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.4

Simplifique.

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Etapa 18.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.4.2

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 18.4.2.1

Fatore $7$ de $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.4.2.2

Fatore $7$ de $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Etapa 18.4.3

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 18.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ para o numerador.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Etapa 18.4.3.2

Fatore $7$ de $- 7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Etapa 18.4.3.3

Fatore $7$ de $343$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Etapa 18.4.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Etapa 18.4.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Etapa 18.4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.4.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Etapa 18.4.4.2

Multiplique $- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ .

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Etapa 18.4.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Etapa 18.4.4.2.2

Multiplique $\frac{\arctan (7 x)}{49}$ por $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Etapa 19

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$