Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.3

Combine $e^{- x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 1.5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 1.5.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

Etapa 1.5.3.4

Reordene os termos.

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

Etapa 1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Etapa 1.7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Etapa 1.7.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Etapa 1.7.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Etapa 1.7.2.4

Multiplique $- \frac{1}{e} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

Etapa 1.7.2.4.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Etapa 1.7.2.5

Mova $e^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Etapa 1.7.3

Some $0$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{e}$ e um ponto determinado $(1, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.2

Simplifique $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\frac{1}{e}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Etapa 2.3.2.3

Combine $\frac{1}{e}$ e $- 1$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Etapa 2.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

Etapa 3