Cálculo Exemplos

$\int \sin (x) \cdot \sqrt{1 - \cos (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - \cos (x)$ . Depois, $d u = \sin (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - \cos (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 - \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$