Cálculo Exemplos

$\int \arcsin (3 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arcsin (3 x)$ e $d v = 1$ .

$\arcsin (3 x) x - \int x \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{x \cdot 3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Etapa 2.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\arcsin (3 x) x - \int \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\arcsin (3 x) x - (3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x)$

Etapa 4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 1 - 9 x^{2}$ . Depois, $d u = - 18 x d x$ , então, $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 1 - 9 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 9 x^{2}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

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Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 5.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$0 - 18 x$

Etapa 5.1.4

Subtraia $18 x$ de $0$ .

$- 18 x$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arcsin (3 x) x - 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{18}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

Etapa 6.3

Mova $18$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (3 x) x - 3 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\arcsin (3 x) x - 3 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

Etapa 8

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\arcsin (3 x) x + 3 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{18}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{18}$ para fora da integral.

$\arcsin (3 x) x + 3 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Combine $\frac{1}{18}$ e $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 10.1.2

Cancele o fator comum de $3$ e $18$ .

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Etapa 10.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 10.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.1.2.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 10.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\arcsin (3 x) x + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 10.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 10.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 10.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 10.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 10.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 10.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 10.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 10.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 12

Reescreva $\arcsin (3 x) x + \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 9 x^{2}$ .

$\arcsin (3 x) x + \frac{{(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\arcsin (3 x) x + \frac{1}{3} {(1 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$