Cálculo Exemplos

$\int_{a}^{b} 5 e^{2 t} d t$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $t$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{a}^{b} e^{2 t} d t$

Etapa 2

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 a$

Etapa 2.3

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 b$

Etapa 2.4

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2 a$

$u_{upper} = 2 b$

Etapa 2.5

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$5 \int_{2 a}^{2 b} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{2 a}^{2 b} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $5$ .

$\frac{5}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} e^{u}]_{2 a}^{2 b}$

Etapa 7

Avalie $e^{u}$ em $2 b$ e em $2 a$ .

$\frac{5}{2} (e^{2 b} - e^{2 a})$