Cálculo Exemplos

$\int arccsc (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = arccsc (x)$ e $d v = 1$ .

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Etapa 4.2

Multiplique $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ por $1$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Etapa 5

Deixe $x = \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Simplifique $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Etapa 6.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 6.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $\tan (t)$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $\tan (t)$ de $\sec (t) \tan (t)$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

Etapa 7

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (x)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$