Cálculo Exemplos

$\int arccot (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , em que

$u = arccot (x)$ e

$d v = 1$ .

$arccot (x) x - \int x (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Etapa 2

Combine

$x$ e

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$arccot (x) x - \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3

Como

$- 1$ é constante com relação a

$x$ , mova

$- 1$ para fora da integral.

$arccot (x) x - - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$arccot (x) x + 1 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Multiplique

$\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$ por

$1$ .

$arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 5

Deixe

$u = 1 + x^{2}$ . Depois,

$d u = 2 x d x$ , então,

$\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando

$u$ e

$d$

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe

$u = 1 + x^{2}$ . Encontre

$\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie

$1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$1 + x^{2}$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.3

Como

$1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$1$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 5.1.5

Some

$0$ e

$2 x$ .

$2 x$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando

$u$ e

$d u$ .

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique

$\frac{1}{u}$ por

$\frac{1}{2}$ .

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 6.2

Mova

$2$ para a esquerda de

$u$ .

$arccot (x) x + \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 7

Como

$\frac{1}{2}$ é constante com relação a

$u$ , mova

$\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de

$\frac{1}{u}$ com relação a

$u$ é

$\ln (| u |)$ .

$arccot (x) x + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$1 + x^{2}$ .

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$