Cálculo Exemplos

$\int arccot (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = arccot (x)$ e $d v = 1$ .

$arccot (x) x - \int x (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

Etapa 2

Combine $x$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$arccot (x) x - \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$arccot (x) x - - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$arccot (x) x + 1 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Multiplique $\int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$ por $1$ .

$arccot (x) x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 5.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$arccot (x) x + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$arccot (x) x + \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$arccot (x) x + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$arccot (x) x + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$