Cálculo Exemplos

$\frac{q x + r}{s x + t}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = q x + r$ e $g (x) = s x + t$ .

$\frac{(s x + t) \frac{d}{d x} [q x + r] - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $q x + r$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]$ .

$\frac{(s x + t) (\frac{d}{d x} [q x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $q$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $q x$ em relação a $x$ é $q \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) (q \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) (q \cdot 1 + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $q$ por $1$ .

$\frac{(s x + t) (q + \frac{d}{d x} [r]) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $r$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $r$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(s x + t) (q + 0) - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.6

Some $q$ e $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) \frac{d}{d x} [s x + t]}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $s x + t$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (\frac{d}{d x} [s x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $s$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $s x$ em relação a $x$ é $s \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $s$ por $1$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + \frac{d}{d x} [t])}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $t$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $t$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) (s + 0)}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 2.12

Some $s$ e $0$ .

$\frac{(s x + t) q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{s x q + t q - (q x + r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{s x q + t q + (- (q x) - r) s}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{s x q + t q - (q x) s - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 3.4

Combine os termos opostos em $s x q + t q - (q x) s - r s$ .

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Etapa 3.4.1

Reorganize os fatores nos termos $s x q$ e $- (q x) s$ .

$\frac{q s x + t q - q s x - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $q s x$ de $q s x$ .

$\frac{t q + 0 - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Some $t q$ e $0$ .

$\frac{t q - r s}{{(s x + t)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{q t - r s}{{(s x + t)}^{2}}$