Cálculo Exemplos

$\int \frac{t^{5}}{\sqrt[3]{1 + t^{6}}} d t$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + t^{6}$ . Depois, $d u = 6 t^{5} d t$ , então, $\frac{1}{6} d u = t^{5} d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + t^{6}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + t^{6}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{6}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + t^{6}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{6}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{6}]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{6}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$0 + 6 t^{5}$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $6 t^{5}$ .

$6 t^{5}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

Etapa 2.2

Mova $6$ para a esquerda de $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{6} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{6 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{3}{12} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $3$ e $12$ .

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Etapa 6.2.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{12} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 6.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + t^{6}$ .

$\frac{1}{4} {(1 + t^{6})}^{\frac{2}{3}} + C$