Cálculo Exemplos

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{1}{x}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , então, $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{1}{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Etapa 2.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{u}$ .

$\int - e^{u} u d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int e^{u} u d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Etapa 6

Simplifique.

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

Etapa 8.3

Multiplique $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

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Etapa 8.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

Etapa 8.3.2

Multiplique $e^{\frac{1}{x}}$ por $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$