Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{y^{2} - y} d y$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $y$ de $y^{2} - y$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot y - y}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{1}{y \cdot y + y \cdot - 1}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$\frac{1}{y (y - 1)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $y (y - 1)$ .

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $A (y - 1)$ por $1$ .

$1 = A (y - 1) + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.6.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.6.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.6.5

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 1.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A y - A + \frac{B (y (y - 1))}{y - 1}$

Etapa 1.1.6.5.2

Divida $(B) (y)$ por $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y)$

$1 = A y - A + B y$

Etapa 1.1.7

Mova $- A$ .

$1 = A y + B y - A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 1 A$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 1 + B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Etapa 1.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Etapa 1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 A = - 1$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = 1, A = - 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{y - 1} d y$

Etapa 5

Deixe $u = y - 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = y - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| y |) + C) + \ln (| u |) + C$

Etapa 7

Simplifique.

$- \ln (| y |) + \ln (| u |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y - 1$ .

$- \ln (| y |) + \ln (| y - 1 |) + C$