Cálculo Exemplos

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

Etapa 1

Deixe $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ como $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.2.1.1

Reescreva $4 t^{2}$ como ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

Etapa 1.1.2.1.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

Etapa 1.1.2.1.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

Etapa 1.1.2.1.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 2 t$ e $b = 1$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

Etapa 1.1.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Etapa 1.1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.7

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.8

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $4$ por $4^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $4$ por $4^{2}$ .

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Etapa 1.3.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Etapa 1.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Etapa 1.3.1.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

Etapa 1.3.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

Etapa 1.3.4

Some $64$ e $16$ .

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

Etapa 1.3.5

Some $80$ e $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{81}$

Etapa 1.3.6

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

Etapa 1.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{lower} = 9$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $4$ por $49$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

Etapa 1.5.4

Some $196$ e $28$ .

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

Etapa 1.5.5

Some $224$ e $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{225}$

Etapa 1.5.6

Reescreva $225$ como $15^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

Etapa 1.5.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{upper} = 15$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $u$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{2} u^{2}$ em $15$ e em $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $225$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Etapa 5.2.3

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

Etapa 5.2.4

Multiplique $81$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

Etapa 5.2.5

Combine $- 81$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

Etapa 5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

Etapa 5.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

Etapa 5.2.8

Subtraia $81$ de $225$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $144$ e $2$ .

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Etapa 5.2.9.1

Fatore $2$ de $144$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

Etapa 5.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Etapa 5.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

Etapa 5.2.9.2.4

Divida $72$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 72$

Etapa 5.2.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $72$ .

$\frac{72}{2}$

Etapa 5.2.11

Cancele o fator comum de $72$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.11.1

Fatore $2$ de $72$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

Etapa 5.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

Etapa 5.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{36}{1}$

Etapa 5.2.11.2.4

Divida $36$ por $1$ .

$36$

Etapa 6