Cálculo Exemplos

$\int 5 x e^{- 4 x} d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int x e^{- 4 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 4 x}$ .

$5 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Etapa 3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Etapa 3.3

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Etapa 5.2

Multiplique $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ por $1$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Etapa 6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Etapa 7

Deixe $u = - 4 x$ . Depois, $d u = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 7.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Etapa 8.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Etapa 10

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Etapa 11.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Etapa 12

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Reescreva $5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ como $5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 13.2.2

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{x}{4}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 13.2.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{16}$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 4 x$ .

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$5 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$