Cálculo Exemplos

$\int_{- 8}^{0} x e^{- 4 x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 4 x}$ .

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - (- \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + 1 (\frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x$

Etapa 5

Deixe $u = - 4 x$ . Depois, $d u = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 5.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot - 8$

Etapa 5.3

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$u_{lower} = 32$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 0$

Etapa 5.5

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 32$

$u_{upper} = 0$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Etapa 6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- \int_{32}^{0} \frac{e^{u}}{4} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} d u))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Etapa 9.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ em $0$ e em $- 8$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

Etapa 11.2

Avalie $e^{u}$ em $0$ e em $32$ .

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$- \frac{0 e^{0}}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{0}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

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Etapa 11.3.4.1

Fatore $4$ de $0$ .

$- \frac{4 (0)}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.4.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{0}{1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.6

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$0 + \frac{- 8 e^{32}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.7

Cancele o fator comum de $- 8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.7.1

Fatore $4$ de $- 8 e^{32}$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 (1)} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 \cdot 1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- 2 e^{32}}{1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.7.2.4

Divida $- 2 e^{32}$ por $1$ .

$0 - 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.8

Subtraia $2 e^{32}$ de $0$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

Etapa 11.3.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} (1 - e^{32})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} \cdot 1 - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Etapa 12.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} (- e^{32})$

Etapa 12.1.3

Multiplique $- \frac{1}{16} (- e^{32})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{16}) e^{32}$

Etapa 12.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $1$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} e^{32}$

Etapa 12.1.3.3

Combine $\frac{1}{16}$ e $e^{32}$ .

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{e^{32}}{16}$

Etapa 12.2

Para escrever $- 2 e^{32}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$- 2 e^{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Etapa 12.3

Combine $- 2 e^{32}$ e $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Etapa 12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

Etapa 12.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32} - 1}{16}$

Etapa 12.6

Multiplique $16$ por $- 2$ .

$\frac{- 32 e^{32} + e^{32} - 1}{16}$

Etapa 12.7

Some $- 32 e^{32}$ e $e^{32}$ .

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

Forma decimal:

$- 152990735353944$

Etapa 14