Cálculo Exemplos

$\int 24 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Etapa 1

Como $24$ é constante com relação a $t$ , mova $24$ para fora da integral.

$24 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = t^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 t d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = t^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$24 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ como ${u_{1}}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{3}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$24 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $24$ .

$\frac{24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$12 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 6.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ como ${u_{2}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$12 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 7.3

Combine $\frac{u_{2}}{2}$ e $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$12 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $12$ .

$\frac{12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 9.2.2.4

Divida $6$ por $1$ .

$6 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 10

Deixe $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Depois, $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Deixe $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Diferencie $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Etapa 10.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $- {u_{2}}^{2}$ em relação a $u_{2}$ é $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$6 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Etapa 11.2

Combine $e^{u_{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$6 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Etapa 13

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 6$ .

$\frac{- 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 15.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 15.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 15.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 15.2.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$- 3 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 16

A integral de $e^{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $e^{u_{3}}$ .

$- 3 (e^{u_{3}} + C)$

Etapa 17

Simplifique.

$- 3 e^{u_{3}} + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $- {u_{2}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Etapa 18.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t^{2}$ .

$- 3 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$