Cálculo Exemplos

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 3

Deixe $u = - 0.1 y$ . Depois, $d u = - 0.1 d y$ , então, $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = - 0.1 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $- 0.1 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

Etapa 3.1.2

Como $- 0.1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 0.1 y$ em relação a $y$ é $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- 0.1$ por $1$ .

$- 0.1$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = - 0.1 y$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

Etapa 3.3

Multiplique $- 0.1$ por $- 3$ .

$u_{lower} = 0.3$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = - 0.1 y$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

Etapa 3.5

Multiplique $- 0.1$ por $- 2$ .

$u_{upper} = 0.2$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 4.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{0.1}$ .

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 7

Como $\frac{1}{0.1}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.1}$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{0.1}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Etapa 10

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Etapa 12

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.1

Avalie $e^{u}$ em $0.2$ e em $0.3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Etapa 12.2

Avalie $\ln (| y |)$ em $- 2$ e em $- 3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 12.3

Remova os parênteses.

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 13

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Divida $2$ por $0.1$ .

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Etapa 14.2

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Etapa 14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Etapa 14.4

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Etapa 14.5

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

Etapa 14.6

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 3$ e $0$ é $3$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Forma decimal:

$1.35272566 \dots$

Etapa 16