Cálculo Exemplos

$\int 2 x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x)$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva ${\sqrt{- u}}^{2}$ como $- u$ .

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Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- u}$ como ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3.1.5

Simplifique.

$2 \int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 \int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $u$ .

$2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Etapa 3.6

Combine $\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int u e^{u} d u$

Etapa 5.3

Multiplique $\int u e^{u} d u$ por $1$ .

$\int u e^{u} d u$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

Etapa 7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$u e^{u} - e^{u} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$- x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}} + C$