Cálculo Exemplos

$\int 30 t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Etapa 1

Como $30$ é constante com relação a $t$ , mova $30$ para fora da integral.

$30 \int t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = t^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 t d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = t^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$30 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$30 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{3}}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$30 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $30$ .

$\frac{30}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $30$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{15}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 5.2.2.4

Divida $15$ por $1$ .

$15 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Depois, $d u_{2} = - 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $- {u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{3}]$

Etapa 6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- {u_{1}}^{3}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2})$

Etapa 6.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 {u_{1}}^{2}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$15 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$15 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Etapa 7.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$15 \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$15 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Etapa 9

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$- 15 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Etapa 10

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- 15 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 15$ .

$\frac{- 15}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $- 15$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Fatore $3$ de $- 15$ .

$\frac{3 \cdot - 5}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 5}{3 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 11.2.2.4

Divida $- 5$ por $1$ .

$- 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- 5 (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$- 5 e^{u_{2}} + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- {u_{1}}^{3}$ .

$- 5 e^{- {u_{1}}^{3}} + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t^{2}$ .

$- 5 e^{- {(t^{2})}^{3}} + C$