Cálculo Exemplos

$\int 3 t e^{- t^{2}} d t$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int t e^{- t^{2}} d t$

Etapa 2

Deixe $u = - t^{2}$ . Depois, $d u = - 2 t d t$ , então, $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = - t^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 t)$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 t$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 3 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{3}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$- \frac{3}{2} e^{u} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t^{2}$ .

$- \frac{3}{2} e^{- t^{2}} + C$