Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Depois, $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ , então, $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\arcsin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\arcsin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.2.1

Aplique a regra do produto a $4 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.3.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.3.2.3

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.4

Combine $4$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.6

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = \arcsin (0)$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.5.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

Etapa 1.5.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Etapa 1.5.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

Etapa 2

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ em $\frac{π}{6}$ e em $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 4.2.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Etapa 4.2.3

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

Etapa 4.2.4

Some $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

Etapa 4.2.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Etapa 4.2.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

Etapa 5.2

Combine.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique $π^{2}$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Etapa 5.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

Etapa 5.5

Multiplique $8$ por $36$ .

$\frac{π^{2}}{288}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π^{2}}{288}$

Forma decimal:

$0.03426945 \dots$