Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos (π x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = π x$ . Depois, $d u = π d x$ , então, $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = π x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 1.1.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Etapa 1.5

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Etapa 2

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{π} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 5

Avalie $\sin (u)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$\frac{1}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{1}{π} (1 - \sin (0))$

Etapa 6.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{π} (1 - 0)$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{π} (1 + 0)$

Etapa 6.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot 1$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $1$ .

$\frac{1}{π}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{π}$

Forma decimal:

$0.31830988 \dots$