Cálculo Exemplos

$\int \frac{y - 2}{y + 3} d y$

Etapa 1

Divida $y - 2$ por $y + 3$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$3$

$y$

$2$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	-	$2$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			+	$y$	+	$3$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 3$ .

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$
					-	$5$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{5}{y + 3} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$y + C + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C - \int \frac{5}{y + 3} d y$

Etapa 5

Como $5$ é constante com relação a $y$ , mova $5$ para fora da integral.

$y + C - (5 \int \frac{1}{y + 3} d y)$

Etapa 6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$y + C - 5 \int \frac{1}{y + 3} d y$

Etapa 7

Deixe $u = y + 3$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = y + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 7.1.4

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C - 5 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C - 5 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$y - 5 \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 3$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C$