Cálculo Exemplos

$\int y^{2} {(1 + y)}^{2} d y$

Etapa 1

Expanda $y^{2} {(1 + y)}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + y)}^{2}$ como $(1 + y) (1 + y)$ .

$\int y^{2} ((1 + y) (1 + y)) d y$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int y^{2} (1 (1 + y) + y (1 + y)) d y$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)) d y$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Etapa 1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Etapa 1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Etapa 1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Etapa 1.8

Mova $y^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Etapa 1.9

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Etapa 1.10

Reordene $y$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (1 \cdot y) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Etapa 1.11

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + 1 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2} (y \cdot y) d y$

Etapa 1.12

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int 1 y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.13

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\int y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.14

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.15

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y^{1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{2} + y^{2 + 1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.17

Some $2$ e $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.18

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.19

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y^{1} + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2 + 1} + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.21

Some $2$ e $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y \cdot y d y$

Etapa 1.22

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y^{1} y d y$

Etapa 1.23

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2 + 1} y d y$

Etapa 1.24

Some $2$ e $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y d y$

Etapa 1.25

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y^{1} d y$

Etapa 1.26

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3 + 1} d y$

Etapa 1.27

Some $3$ e $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{4} d y$

Etapa 1.28

Some $y^{3}$ e $y^{3}$ .

$\int y^{2} + 2 y^{3} + y^{4} d y$

Etapa 1.29

Reordene $2 y^{3}$ e $y^{4}$ .

$\int y^{2} + y^{4} + 2 y^{3} d y$

Etapa 1.30

Mova $y^{2}$ .

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{4} d y + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{4}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 \int y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int y^{2} d y$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{y^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$