Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Etapa 2

Aplique a regra da constante.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{12}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $2$ de $12$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (6)}$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) d u)$

Etapa 7

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $x$ em $\frac{π}{12}$ e em $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Etapa 8.2

Avalie $\sin (u)$ em $\frac{π}{6}$ e em $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{6})) - \sin (0))$

Etapa 8.3

Some $\frac{π}{12}$ e $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

Etapa 9.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0)$

Etapa 9.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Etapa 9.4

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 9.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.01179938 \dots$