Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

Etapa 1

Deixe $u = 4 + r^{2}$ . Depois, $d u = 2 r d r$ , então, $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 + r^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d r}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + r^{2}$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Etapa 1.1.3

Como $4$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $4$ em relação a $r$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $2 r$ .

$2 r$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $r$ em $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $4$ e $0$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $r$ em $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Etapa 1.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

Etapa 5

Avalie $\ln (| u |)$ em $4 + \frac{π^{2}}{4}$ e em $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ é aproximadamente $6.4674011$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Etapa 7.1.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Etapa 7.1.3

Combine $4$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Etapa 7.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Etapa 7.1.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Etapa 7.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

Etapa 7.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{16 + π^{2}}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Forma decimal:

$0.24023999 \dots$

Etapa 9