Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = - \cos (x)$ . Depois, $d u = \sin (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = - \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $- \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

Etapa 1.1.4

Multiplique.

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Etapa 1.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sin (x)$

Etapa 1.1.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - \cos (x)$ .

$u_{lower} = - \cos (0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - \cos (x)$ .

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = - 0$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

Etapa 2

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $e^{u}$ em $0$ e em $- 1$ .

$(e^{0}) - e^{- 1}$

Etapa 3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$1 - \frac{1}{e}$

Forma decimal:

$0.63212055 \dots$