Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

Etapa 1

Deixe $u = \sin (t)$ . Depois, $d u = \cos (t) d t$ , então, $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sin (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

Etapa 2

Deixe $u = \tan (t_{1})$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t_{1})$ é positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ .

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Etapa 3.1.1

Reorganize os termos.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 3.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $\sec (t_{1})$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $\sec (t_{1})$ de $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 4

A integral de $\sec (t_{1})$ com relação a $t_{1}$ é $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Etapa 5

Avalie $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 6.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Etapa 6.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Etapa 6.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Etapa 6.5

Some $1$ e $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Etapa 6.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.1.1.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.1.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.1.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Etapa 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ é aproximadamente $2.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Etapa 7.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Etapa 7.3

Divida $\sqrt{2} + 1$ por $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Forma decimal:

$0.88137358 \dots$