Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\cos^{4} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\cos (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 4.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Etapa 5

Expanda $u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.8

Mova $u^{7}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.9

Mova os parênteses.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.10

Mova $u^{7}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.11

Mova $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.12

Mova os parênteses.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.13

Mova $u^{7}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Etapa 5.14

Mova $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.15

Mova os parênteses.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 5.16

Mova os parênteses.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.17

Mova $u^{7}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.18

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.19

Multiplique $u^{7}$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.20

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.21

Fatore o negativo.

$\int_{0}^{1} u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.23

Some $7$ e $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.24

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.25

Fatore o negativo.

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.26

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.27

Some $7$ e $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.28

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.29

Multiplique $u^{7}$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.30

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

Etapa 5.31

Some $7$ e $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Etapa 5.32

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Etapa 5.33

Some $9$ e $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

Etapa 5.34

Subtraia $u^{9}$ de $- u^{9}$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

Etapa 5.35

Reordene $- 2 u^{9}$ e $u^{11}$ .

$\int_{0}^{1} u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

Etapa 5.36

Mova $u^{7}$ .

$\int_{0}^{1} u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} u^{11} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{9} d u + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{11}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{9} d u + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

Etapa 8

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{9} d u + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{9}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{10}$ e $u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1}$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $\frac{1}{12} u^{12} + \frac{1}{8} u^{8}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{12} \cdot 1^{12} + \frac{1}{8} \cdot 1^{8}) - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1})$

Etapa 13.2

Avalie $\frac{u^{10}}{10}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{12} \cdot 1^{12} + \frac{1}{8} \cdot 1^{8}) - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3

Simplifique.

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Etapa 13.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot 1^{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.2

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} \cdot 1^{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} \cdot 1 - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.4

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.5

Para escrever $\frac{1}{12}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.6

Para escrever $\frac{1}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $24$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 13.3.7.1

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{12 \cdot 2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.7.2

Multiplique $12$ por $2$ .

$\frac{2}{24} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.7.3

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.7.4

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{2}{24} + \frac{3}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 3}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.9

Some $2$ e $3$ .

$\frac{5}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{5}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.11

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $0$ .

$\frac{5}{24} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{5}{24} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.13

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $0$ .

$\frac{5}{24} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.14

Some $0$ e $0$ .

$\frac{5}{24} - 0 - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.15

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{5}{24} + 0 - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.16

Some $\frac{5}{24}$ e $0$ .

$\frac{5}{24} - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.17

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{0^{10}}{10})$

Etapa 13.3.18

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{0}{10})$

Etapa 13.3.19

Cancele o fator comum de $0$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.19.1

Fatore $10$ de $0$ .

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{10 (0)}{10})$

Etapa 13.3.19.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.19.2.1

Fatore $10$ de $10$ .

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1})$

Etapa 13.3.19.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1})$

Etapa 13.3.19.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{0}{1})$

Etapa 13.3.19.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - 0)$

Etapa 13.3.20

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} + 0)$

Etapa 13.3.21

Some $\frac{1}{10}$ e $0$ .

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10})$

Etapa 13.3.22

Combine $- 2$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{24} + \frac{- 2}{10}$

Etapa 13.3.23

Cancele o fator comum de $- 2$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.23.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{5}{24} + \frac{2 (- 1)}{10}$

Etapa 13.3.23.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.23.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{5}{24} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

Etapa 13.3.23.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{24} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

Etapa 13.3.23.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{24} + \frac{- 1}{5}$

Etapa 13.3.24

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{24} - \frac{1}{5}$

Etapa 13.3.25

Para escrever $\frac{5}{24}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{24} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 13.3.26

Para escrever $- \frac{1}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{24}{24}$ .

$\frac{5}{24} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{24}{24}$

Etapa 13.3.27

Escreva cada expressão com um denominador comum de $120$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.27.1

Multiplique $\frac{5}{24}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{24 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{24}{24}$

Etapa 13.3.27.2

Multiplique $24$ por $5$ .

$\frac{5 \cdot 5}{120} - \frac{1}{5} \cdot \frac{24}{24}$

Etapa 13.3.27.3

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{24}{24}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{120} - \frac{24}{5 \cdot 24}$

Etapa 13.3.27.4

Multiplique $5$ por $24$ .

$\frac{5 \cdot 5}{120} - \frac{24}{120}$

Etapa 13.3.28

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 \cdot 5 - 24}{120}$

Etapa 13.3.29

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.29.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{25 - 24}{120}$

Etapa 13.3.29.2

Subtraia $24$ de $25$ .

$\frac{1}{120}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{120}$

Forma decimal:

$0.008\overline{3}$