Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{u^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 5.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Etapa 5.2.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{3} - 0)$

Etapa 5.2.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0)$

Etapa 5.2.5

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$2 (\frac{1}{3})$

Etapa 5.2.6

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$