Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x$

Etapa 2

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Avalie $x \sin (x)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 3.1.2

Avalie $- \cos (x)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 3.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.1.3.1

Combine $\frac{π}{2}$ e $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 3.1.3.3

Some $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ e $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Etapa 3.1.3.4

Para escrever $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.1.3.5

Combine $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Etapa 3.1.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Etapa 3.1.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Etapa 3.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{2}$

Etapa 3.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{2}$

Etapa 3.2.6

Some $0$ e $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{2}$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{π - 2}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π - 2}{2}$

Forma decimal:

$0.57079632 \dots$