Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x)$

Etapa 4

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 4.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Etapa 8

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Etapa 9.2

Avalie $- \cos (u)$ em $π$ e em $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Combine $2$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.2.2

Divida $π$ por $1$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (π)}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.3

Combine $\frac{π}{2}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.4

Reescreva $\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2}$ como um produto.

$\frac{π \sin (π)}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.5

Multiplique $\frac{π \sin (π)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (π)}{2 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.7

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.8

Multiplique $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 9.3.9.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.11

Some $\frac{π \sin (π)}{4}$ e $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.12

Para escrever $- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 9.3.13

Combine $- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Etapa 9.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Etapa 9.3.15

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{π \sin (π) - 4 (\frac{1}{4}) (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Etapa 9.3.16

Combine $- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 4}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Etapa 9.3.17

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

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Etapa 9.3.17.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Etapa 9.3.17.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.17.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Etapa 9.3.17.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Etapa 9.3.17.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 1}{1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Etapa 9.3.17.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Etapa 10

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Etapa 11.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Etapa 11.3

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Etapa 11.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{0 - (- - \cos (0) + 1)}{4}$

Etapa 11.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{4}$

Etapa 11.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 - (- - 1 + 1)}{4}$

Etapa 11.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0 - (1 + 1)}{4}$

Etapa 11.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2}{4}$

Etapa 11.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2}{4}$

Etapa 11.10

Reduza a expressão $\frac{0 - 2}{4}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 11.10.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0) - 2}{4}$

Etapa 11.10.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{4}$

Etapa 11.10.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{4}$

Etapa 11.10.4

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (2)}$

Etapa 11.10.5

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.10.6

Reescreva a expressão.

$\frac{0 - 1}{2}$

Etapa 11.11

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 11.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$