Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Etapa 1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Etapa 1.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

Etapa 5

Avalie $- \cos (u)$ em $\frac{π^{2}}{4}$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

Etapa 6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\cos (\frac{π^{2}}{4})$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.78121189$ .

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

Etapa 7.3

Some $0.78121189$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

Etapa 7.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $1.78121189$ .

$\frac{1.78121189}{2}$

Etapa 7.5

Divida $1.78121189$ por $2$ .

$0.89060594$