Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 4}{x^{2} + 5 x - 6} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x^{2} + 5 x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $5$ .

$- 1, 6$

Etapa 1.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 4}{(x - 1) (x + 6)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 6}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 1) (x + 6)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 1) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 4) (x - 1) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $x + 4$ por $1$ .

$x + 4 = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x + 4 = \frac{A (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (x + 6)$ por $1$ .

$x + 4 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 4 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $6$ para a esquerda de $A$ .

$x + 4 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

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Etapa 1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x + 4 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.1.7.4.2

Divida $(B) (x - 1)$ por $1$ .

$x + 4 = A x + 6 A + (B) (x - 1)$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 4 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$x + 4 = A x + 6 A + B x - 1 \cdot B$

Etapa 1.1.7.7

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$x + 4 = A x + 6 A + B x - B$

Etapa 1.1.8

Mova $6 A$ .

$x + 4 = A x + B x + 6 A - B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = 6 A - 1 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$4 = 6 A - 1 B$

$1 = A + B$

$4 = 6 A - 1 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$4 = 6 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$4 = 6 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 A - 1 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $4 = 6 A - 1 B$ por $1 - B$ .

$4 = 6 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $6 (1 - B) - 1 B$ .

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 = 6 \cdot 1 + 6 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$4 = 6 + 6 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$4 = 6 - 6 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.4

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$4 = 6 - 6 B - B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 6 B - B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 6 B$ .

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $4 = 6 - 7 B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $6 - 7 B = 4$ .

$6 - 7 B = 4$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 7 B = 4 - 6$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $6$ de $4$ .

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - B$

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- 7 B = - 2$ por $- 7$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 7 B = - 2$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

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Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{2}{7}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{7})$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{2}{7})$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{7}{7} - \frac{2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{7 - 2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 1.3.4.2.1.3

Subtraia $2$ de $7$ .

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{5}{7}, B = \frac{2}{7}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 6}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{5}{7}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{5}{7}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x + 6}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{2}{7}$ por $\frac{1}{x + 6}$ .

$\int \frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{5}{7 (x - 1)} d x + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{5}{7}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{5}{7}$ para fora da integral.

$\frac{5}{7} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{5}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{2}{7}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{7}$ para fora da integral.

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{x + 6} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = x + 6$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = x + 6$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 7.1.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{5}{7} \ln (| u_{1} |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$\frac{5}{7} \ln (| x - 1 |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 6$ .

$\frac{5}{7} \ln (| x - 1 |) + \frac{2}{7} \ln (| x + 6 |) + C$